Ví dụ về phân phối đa thức - Truyện tranh khoa học

Ví dụ trong Di truyền học

Trong di truyền học, phân phối đa thức có thể được sử dụng để mô hình hóa sự phân phối của các alen trong quần thể.

Ví dụ: Mô hình hóa sự phân phối alen

Giả sử chúng ta đang nghiên cứu một gen có ba alen: A, B, và C. Trong một quần thể, tỷ lệ xuất hiện của các alen này là $p_A = 0.5$ ,

$p_B = 0.3$

, và $p_C = 0.2$ . Chúng ta muốn biết xác suất rằng trong một mẫu gồm 10 cá thể, số lần xuất hiện của alen A, B, và C là 5, 3, và 2 lần tương ứng.

Sử dụng phân phối đa thức, xác suất này được tính như sau:

$P(X_A = 5, X_B = 3, X_C = 2) = \frac{10!}{5! 3! 2!} (0.5)^5 (0.3)^3 (0.2)^2$
$\approx 0.08505$

Vậy, xác suất rằng trong một mẫu gồm 10 cá thể, số lần xuất hiện của alen A, B, và C lần lượt là 5, 3, và 2 lần là khoảng 0.085.

Ví dụ trong Kinh tế học

Trong kinh tế học, phân phối đa thức có thể được sử dụng để mô hình hóa sự phân bổ tài nguyên hoặc hành vi tiêu dùng.

Phân tích hành vi tiêu dùng

Giả sử bạn đang nghiên cứu hành vi tiêu dùng của khách hàng tại một siêu thị. Bạn phân loại các sản phẩm mua sắm thành 4 nhóm: Thực phẩm, Đồ uống, Đồ gia dụng, và Các sản phẩm khác. Bạn muốn biết xác suất rằng một khách hàng sẽ mua 3 món thực phẩm (P), 2 món đồ uống (U), 1 món đồ gia dụng (D), và 4 món thuộc nhóm các sản phẩm khác (K) trong một lần mua sắm, với xác suất mua mỗi loại sản phẩm tương ứng là: $p_{P} = 0.3$ , $p_{U} = 0.2$ , $p_{D} = 0.1$ , và $p_{K} = 0.4$ .

Sử dụng phân phối đa thức

Ta cần xác định tổng số món hàng mà khách hàng mua, tức là $n = 3 + 2 + 1 + 4 = 10$ . Các xác suất cho từng loại sản phẩm đã được cung cấp.

Xác suất rằng khách hàng sẽ mua 3 món thực phẩm (P), 2 món đồ uống (U), 1 món đồ gia dụng (D), và 4 món thuộc nhóm các sản phẩm khác (K) trong một lần mua sắm

$P(P = 3, U = 2, D= 1,K= 4) = \frac{10!}{3! 2! 1! 4!} (0.3)^3 (0.2)^2 (0.1)^1 (0.4)^4$

$= 0.0348288$

Vậy, xác suất rằng một khách hàng sẽ mua 3 món thực phẩm, 2 món đồ uống, 1 món đồ gia dụng, và 4 món thuộc nhóm các sản phẩm khác trong một lần mua sắm là khoảng 0.0348.

Ví dụ: Mô hình hóa sự phân bổ tài nguyên

Giả sử một công ty có một khoản ngân sách là 100,000 đô la và có 4 dự án A, B, C, và D để đầu tư. Xác suất đầu tư vào mỗi dự án là: $p_A = 0.4$ , $p_B = 0.3$ , $p_C = 0.2$ , và $p_D = 0.1$ . Chúng ta muốn biết xác suất rằng công ty sẽ đầu tư 40,000 đô la vào dự án A, 30,000 đô la vào dự án B, 20,000 đô la vào dự án C, và 10,000 đô la vào dự án D.

Ta có thể xem xét mỗi đơn vị 1,000 đô là một lần thử nghiệm, và tổng cộng ta có 100 lần thử nghiệm.

Sử dụng phân phối đa thức, xác suất này được tính như sau:

$P(X_A = 40, X_B = 30, X_C = 20, X_D = 10) = \frac{100!}{40! 30! 20! 10!} (0.4)^{40} (0.3)^{30} (0.2)^{20} (0.1)^{10}$

Vậy, xác suất rằng công ty sẽ đầu tư theo tỷ lệ này có thể được tính thông qua công thức phân phối đa thức, cho phép nhà kinh tế mô hình hóa và phân tích các chiến lược phân bổ tài nguyên khác nhau.